详解PID控制

PID是目前工程上使用最广泛，最稳定的方法，说实话想做点实际的东西PID必不可少，对于PID的掌握是搞控制的基本。

本文会系统梳理PID控制，从基础的P控制器开始，PI控制器解决P控制器不能用大增益的问题,PID控制器解决PD控制器稳态误差不为0的问题，自动控制原理对一二阶系统的讨论附在后面，算是对基础知识的补充。

最简单的反馈控制器就是P Control and First-Order Error Dynamics，也就是PID里的P，PID是比例-积分-微分控制的缩写，这个了解自动控制原理的话大家都很熟悉了，它的控制律为：

0″> $K_{p} > 0$ K_p>0,这种控制器被称为比例控制器，或P控制器，因为它创建一个与位置误差 $θ_{e} (t) = θ_{d} (t) - θ (t)$ \theta_e(t)=\theta_d(t)-\theta(t)成比例的校正控制，换句话说，恒定的控制增益 $K_{p}$ K_p有点像一个虚拟的弹簧，试图把实际的关节位置拉到期望的关节位置。P控制器是线性控制器的一个例子，因为它产生的控制信号是误差 $θ_{e} (t)$ \theta_e(t)的线性组合也可能是其的导数和积分。

如果 $θ_{d} (t)$ \theta_d(t)是常数，那么 ${\dot{θ}}_{d} (t) = 0$ \dot\theta_d(t)=0，就称为setpoint control，这时候误差动力学为：

代入P控制器就有：

显然这是一个时间常数 $τ = 1 / K_{p}$ \tau=1/K_p的一阶误差动力学方程，它的衰减指数误差响应如下图，稳态误差为零，没有超调，2%的沉降时间为 $4 / K_{p}$ 4/K_p，更大的 $K_{p}$ K_p意味着更快的响应。

如果 $θ_{d} (t)$ \theta_d(t)不是常数，而 ${\dot{θ}}_{d} (t) = c$ \dot\theta_d(t)=c，这时候误差动力学代入P控制器为：

处理一下：

解微分方程，就有：

当时间趋于无穷时，它收敛于非零值 $c / K_{p}$ c/K_p,与setpoint control不同，稳态误差 $e_{s s}$ e_{ss}是非零的,关节位置总是滞后于运动参考点，通过选择控制增益 $K_{p}$ K_p，可以使稳态误差 $c / K_{p}$ c/K_p变小，但是 $K_{p}$ K_p的大小受到实际情况的限制，一个是真正的关节有速度限制， $K_{p}$ K_p过大显然是不行的，另一方面，较大的增益可能给系统带来不稳定的问题。

那么想用大的增益怎么办？比例积分控制器或PI控制器PI Control and Second-Order Error Dynamics就出现了，它添加与误差对时间积分成比例的项:

PI控制器的方块图如下：

如果 $θ_{d} (t)$ \theta_d(t)不是常数，而 ${\dot{θ}}_{d} (t) = c$ \dot\theta_d(t)=c，这时候误差动力学代入PI控制器为：

上式对时间求导：

利用上一帖中二阶误差动力学的相关知识，可以看出系统的固有频率 $ω_{n} = \sqrt{K_{i}}$ \omega_n=\sqrt{K_i}，阻尼比为 $ζ = K_{p} / 2 \sqrt{K_{i}}$ \zeta=K_p/2\sqrt{K_i}类比经典的弹簧阻尼系统，增益 $K_{p}$ K_p的作用等同于 $b / m$ b/m( $K_{p}$ K_p越大，阻尼常数b越大)，增益 $K_{i}$ K_i的作用等同于 $k / m$ k/m( $K_{i}$ K_i越大，弹簧刚度k越大)。

那么0″> $K_{p} ， K_{i} > 0$ K_p，K_i>0时，PI控制的误差动力学方程是稳定的，特征方程的根为：

让 $K_{p}$ K_p等于20，然后在复平面上画出 $K_{i}$ K_i从0增长的根轨迹（root locus）为下图：

对于根轨迹图的讨论就不再赘述了，可以画出下面的误差响应图，罗马数字1,2，3分别对应过阻尼，临界阻尼和欠阻尼的响应。

有了上面的讨论，对于临界阻尼情况( $K_{i} = K_{p}^{2} / 4$ K_i=K_p^2/4)，我们总是可以选择 $K_{p}, K_{i}$ K_p,K_i，增加 $K_{p}, K_{i}$ K_p,K_i使误差响应尽可能快，然而，实际情况的限制也不能让增益取的过大，在满足实际情况下，尽可能使 $K_{p}, K_{i}$ K_p,K_i满足临界阻尼条件。

现在来对比一下P控制器和PI控制器，下图显示了P控制器和PI控制器尝试跟踪匀速轨迹的性能，两种情况下的比例增益 $K_{p}$ K_p是相同的，而对于P控制器 $K_{i} = 0$ K_i=0,从响应的形状来看，似乎PI控制器的 $K_{i}$ K_i选择的大了一些，使系统欠阻尼，但依旧很明显，PI控制器的 $e_{s s} = 0$ e_{ss}=0，而P控制器的 $e_{s s} \neq 0$ e_{ss}\not=0，这与上面的分析一致。

如果期望的速度 ${\dot{θ}}_{d} (t) \neq c$ \dot\theta_d(t)\not=c，PI控制器就不能完全消除稳态误差，但是，如果期望速度变化缓慢，那么一个设计良好的PI控制器可以提供比P控制器更好的跟踪性能。

进入PID前，先看这个：

如上图，考虑摩擦等阻力，动力学方程就为：

式中：

0″> $τ_{f r i c} = b \dot{θ}, b > 0$ \\ \tau_{fric}=b\dot \theta,b>0

简写一下，就为：

Feedback Control: PID Control（线性比例-积分-微分控制或PID控制），PID控制器就是PI控制器加上与误差对时间的导数成比例的一项，控制律如下：

上式中增益 $K_{p}, K_{i}, K_{d}$ K_p,K_i,K_d都是正的，比例增益 $K_{p}$ K_p类似于一个弹簧，试图减少位置误差 $θ_{e} = θ_{d} - θ$ \theta_e=\theta_d-\theta,微分增益 $K_{d}$ K_d类似于一个阻尼器，试图减少速度误差 ${\dot{θ}}_{e} = {\dot{θ}}_{d} - \dot{θ}$ \dot\theta_e=\dot\theta_d-\dot\theta,积分增益可用于减少或消除稳态误差。PID控制器方块图如图:

（1）PD Control and Second-Order Error Dynamics

如果 $K_{i} = 0$ K_i=0，就称为PD控制，假设机器人在水平面上运动(g = 0)，将PD控制律代入动力学，就有：

如果 $θ_{d}$ \theta_d是常数，那么 ${\dot{θ}}_{d} = {\ddot{θ}}_{d} = 0$ \dot\theta_d=\ddot\theta_d=0，那么 ${\dot{θ}}_{e} = - \dot{θ} ， {\ddot{θ}}_{e} = - \ddot{θ}$ \dot\theta_e=-\dot\theta，\ddot\theta_e=-\ddot\theta，这时候误差动力学为：

写成二阶形式：

那么固有频率和阻尼比就为：

系统要稳定，那么 $b + K_{d} ， K_{p}$ b+K_d，K_p就要为正，如果误差动力学方程是稳定的，则稳态误差为零，如果不出现超调和快速响应，增益 $K_{d}$ K_d和 $K_{p}$ K_p应选择满足临界阻尼情况，如果想要快速响应，应选择尽可能高的满足实际问题的 $K_{p}$ K_p，过高的 $K_{p}$ K_p可能导致抖振（扭矩快速变化的情况）的发生。

如果其它条件不变，连杆在垂直平面上运动(g > 0)，根据上面的PD控制律，误差动力学可以写成：

观察上式，你会发现在 $K_{p} θ_{e} = m g r c o s θ$ K_p\theta_e=mgrcos\theta时，关节将保持静止，即 $θ_{d} \neq \pm π / 2$ \theta_d\not=\pm\pi/2时稳态误差 $θ_{e} \neq 0$ \theta_e\not=0，因为机器人在 $θ_{d} \neq \pm π / 2$ \theta_d\not=\pm\pi/2必须提供一个非零的力矩来保持连杆静止，但PD控制律只有在 $θ_{e} \neq 0$ \theta_e\not=0会在静止时产生非零力矩，这就陷入了矛盾，想让稳态误差变成0，但它就不是0，当然我们可以通过增大 $K_{p}$ K_p来降低稳态误差，但是，我们上面讨论了， $K_{p}$ K_p会受到实际情况的限制，那这种情况该如何解决？PID就出场了。

（2）PID Control and Third-Order Error Dynamics

为了消除稳态误差，我们通过设置0″> $K_{i} > 0$ K_i> 0让控制器化身PID控制器，下图展示了积分项加入控制器的效果：

详解PID控制插图25 — 左图为跟踪效果，中间为比例积分微分项各自的贡献，右图为控制情况

写出误差动力学：

$τ_{d i s t}$ \tau_{dist}为扰动力矩代替了重力项 $m g r c o s θ$ mgrcos\theta，上式两边求导，就有三阶误差动力学：

如果 $τ_{d i s t}$ \tau_{dist}是常数，那么上式的特征方程为：

如果特征方程的所有根都有负实部，则误差动力学是稳定的，且收敛于零，为了稳定还必须满足以下控制增益条件:

增益 $K_{i}$ K_i必须同时满足一个下限和一个上限。合理的设计策略是选择 $K_{p}, K_{d}$ K_p,K_d以获得良好的瞬态响应，然后选择 $K_{i}$ K_i（从下面的根轨迹可以看出 $K_{i}$ K_i太大，系统是不稳定的）使其能够减少或消除稳态误差，但又不至于对稳定性产生显著影响，在上面左边那张图可以明显看出效果。

实际使用中，对于许多机器人控制器 $K_{i} = 0$ K_i=0，因为稳定性是最重要的，可以用其他方法限制积分控制不利稳定的问题，比如integrator anti-windup，对允许的误差积分的大小设置一个限制。

PID控制算法的伪代码如下图：

虽然上述的分析集中于setpoint control，但是PID控制器很好地适用于轨迹跟踪，当然，它不是什么时候都有用，积分控制并不能消除沿任意轨迹的跟踪误差。

把一二阶系统特性放在最后，算是自动控制原理基础知识：

先来看Linear Error Dynamics，即讨论线性一般微分方程所描述的线性系统的误差动力学：

上式是一个p阶的微分方程，当 $c = 0$ c=0就是齐次的， $c \neq 0$ c\not=0就是非齐次的。

对于齐次线性误差动力学，就有：

通过向量 $x = (x_{1}, \dots, x_{p})$ x=(x_1,\dots,x_p)

就可以把齐次微分方程写为：

很明显上式就为 $\dot{x} (t) = A x (t)$ \dot x(t)=Ax(t)，在介绍罗德里格斯旋转公式的时候详细讨论过这个方程

如果A是负定的，那么 $\dot{x} (t) = A x (t)$ \dot x(t)=Ax(t)将收敛于x=0，也就意味着A的所有特征值(可能是复数)都有负实分量。列出A的特征方程：

方程的每个根都有负实分量的必要条件是所有系数 $a_{0}^{'}, \dots, a_{p - 1}^{'}$ a_0,\dots,a_{p-1}必须是正的，如果方程的每个根都有一个负实分量，就称误差动力学是稳定的，反之，则是不稳定的。其实这个也就是劳斯判据了。

其实又回到了熟悉的自动控制原理环节，对于二阶误差动力学，经典的弹簧阻尼器系统又来了，符号就不做过多赘述：

根据牛顿第二定律，就有：

如果，m=0，那么上面的二阶动力学就降阶为一阶动力学：

从上式中可以看得出，对于一阶动力学，外力产生的是速度，而非加速度，在接下来的讨论中，将考虑齐次情况(0″> $f = 0 ， b, k > 0$ f = 0，b, k > 0)的一阶和二阶误差响应，以确保误差动力学是稳定的，并且收敛到零( $e_{s s} = 0$ e_{ss}= 0)。

那么上面情况的 First-Order Error Dynamics就可以写为：

或者：

${\dot{θ}}_{e} (t) + \frac{1}{τ} θ_{e} (t) = 0$ \\ \dot{\theta}_{e}(t)+\frac{1}{\tau} \theta_{e}(t)=0

$τ = b / k$ \mathcal{\tau}=b/k称为一阶微分方程的时间常数。微分方程的解就为：

$θ_{e} (t) = e^{- t / τ} θ_{e} (0)$ \\ {\theta}_{e}(t)=e^{-t/\tau}{\theta}_{e}(0)

时间常数 $τ$ \tau是一阶指数衰减到其初始值的大约37%时的时间,误差响应 $θ_{e} (t)$ \theta_e(t)由 $θ_{e} (0) = 1$ \theta_e(0)=1决定，不同时间常数的误差响应图如下图，其中稳态误差为零，无超调，2%沉降时间由下式计算： $\frac{θ_{e} (t)}{θ_{e} (0)} = 0.02 = e^{- t / τ}$ \\ \frac{\theta_{e}(t)}{\theta_{e}(0)}=0.02=e^{-t / \tau}

$- t / τ = l n 0.02 t = 3.91 τ$ \\ -t / \tau=ln0.02 \\ t=3.91\tau

2%的沉降时间约为 $4 τ$ 4\tau,当弹簧常数k增大或阻尼常数b减小时，响应变快。

如果 $m \neq 0$ m\not=0，那么二阶误差动力学就为：

写成二阶形式：

$ω_{n} = \sqrt{k / m}$ \omega_n=\sqrt{k/m}就是熟悉的固有频率， $ζ = b / 2 \sqrt{k m}$ \zeta=b/2\sqrt{km}就是阻尼比,那么特征多项式为：

两个根为：

很明显当且仅当0″> $ζ ω_{n} > 0$ \zeta\omega_n>0和0″> $ω_{n}^{2} > 0$ \omega_n^2>0时，二阶误差动力学是稳定的。根据二阶微分方程的知识，就有下面三种情况：

（1）过阻尼：1″> $ζ > 1$ \zeta>1, $s_{1}, s_{2}$ s_1,s_2为两不等实根，微分方程的解为：

时间常数为 $τ_{1} = - 1 / s_{1}$ \tau_1=-1/s_1, $τ_{2} = - 1 / s_{2}$ \tau_2=-1/s_2

根据初始条件 $θ_{e} (0) = 1$ \theta_e(0)=1， ${\dot{θ}}_{e} (0) = 0$ \dot\theta_e(0)=0就有：

（2）临界阻尼： $ζ = 1$ \zeta=1， $s_{1}, s_{2}$ s_1,s_2为两相等实根 $s_{1, 2} = - ω_{n}$ s_{1,2}=-\omega_n，微分方程的解为：

时间常数为 $τ = 1 / ω_{n}$ \tau=1/\omega_n

根据初始条件 $θ_{e} (0) = 1$ \theta_e(0)=1， ${\dot{θ}}_{e} (0) = 0$ \dot\theta_e(0)=0就有：

（3）欠阻尼： $ζ = 1$ \zeta=1， $s_{1}, s_{2}$ s_1,s_2为共轭复数根, $s_{1, 2} = - ζ ω_{n} \pm j ω_{d}, ω_{d} = ω_{n} \sqrt{1 - ζ^{2}}$ s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm j\omega_d,\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}， $ω_{d}$ \omega_d为阻尼固有频率，微分方程的解为：